NaWi 6: Die Bénard-Konvektion und das Erdmagnetfeld

Wie kommen die schönen Wolkenstraßen zustande, die streifenförmigen Kumulus-Wolken, die man in einer sehr ruhigen Atmosphäre manchmal am Himmel beobachten kann?

Bild 1: Wolkenstraßen (eigenes Foto 2014)

Der emergente Prozess dafür ist bereits seit dem Jahr 1900 Gegenstand der wissenschaftlichen Forschung und mit dem Namen des französischen Gelehrten Henri Bénard verbunden. Beim Bénard-Prozess bilden sich als Folge des Wärmetransports in Flüssigkeiten oder Gasen spontan walzen- oder zylinderförmige Konvektionszellen.

Dieser NaWi-Artikel ist wie die vorhergehenden und weitere, die noch folgen, wichtigen Beispielen zur Entstehung der Komplexität unserer Welt durch emergente Selbstorganisation gewidmet. Denn dieses Wissen wird weder im Lehrplan der Schulen noch auf den Hochschulen vermittelt, obwohl die Emergenz vom Urknall bis hin zur menschlichen Gesellschaft durchgängig wirksam ist und viele komplexe Erscheinungen relativ einfach verständlich macht.

Die Bénard-Zellen transportieren Wärmeenergie durch eine Flüssigkeit oder ein Gas. Dabei werden – abhängig von der zu transportierenden Wärmemenge – von selbst in mehreren Stufen stabile, geometrisch angeordnete Konvektionszellen gebildet, die den Wärmetransport schrittweise verbessern. Es wird also Energie in Form von Wärme aufgenommen, eine mehr oder weniger komplexe Konvektions-Struktur des wärmeleitenden Mediums erzeugt und die Energie dann wieder abgegeben. Das ist ein dissipativer nichtlinearer Prozess, der sich von selbst ausbildet und erhält, solange Wärme zugeführt wird. Während der Entstehung und Entwicklung der Konvektionszellen gibt es einen Wettbewerb der Zellen und Vorgänge, die den Selektionsvorgängen in der Evolution ähnlich sind. Der (langsam veränderliche) Ordnungsparamter der Bénard-Konvektion ist der Temperaturgradient im Medium.

Die Bénard-Konvektion kann man anhand eines Versuchs folgendermaßen demonstrieren und erklären: Man erwärmt in einer Schale von unten vorsichtig und gleichmäßig eine flache Schicht einer Flüssigkeit (siehe Bild 2, von der Seite gesehen, nicht maßstäblich). Anfangs wird die zugeführte Wärme (rote Pfeile unten) durch reine Wärmeleitung im Wasser von unten nach oben transportiert, ohne dass sich das Wasser sichtbar bewegt. Oben entweicht die Wärme dann in die Umgebung.

Bild 2: Bénard-Konvektion (schematisch; eigene Grafik)

Erwärmt man die Schale weiter, so reicht die Wärmeleitung allein oberhalb einer kritischen vertikalen Temperaturdifferenz zwischen unten und oben für den Wärmetransport nicht mehr aus, und die Wassermoleküle geraten in Bewegung. Zunächst zufällig und ungeordnet als Keime in einem kritischen Zustand des Wärmetransports, aus denen dann lokale Strömungen entstehen, die die Wärme besser transportieren als die Wärmeleitung. Der Grund ist, dass sich das Wasser am warmen Boden der Schale ausdehnt und aufgrund seiner dadurch geringeren Dichte nach oben steigt, während das kältere, dichtere Wasser aus dem oberen, kühleren Bereich wieder nach unten sinkt. An den Rändern der Schale, wo kalte Luft zuströmt (Bild 2, blaue Pfeile), bewegt sich die Flüssigkeit bevorzugt abwärts, wird am Boden erwärmt und steigt wieder auf. Dabei kann sie eine benachbarte aufsteigende Strömung erzeugen, mitnehmen oder verstärken. Die erfolgreichen lokalen Strömungen verstärken sich also durch eine Art Kaminwirkung von selbst und verdrängen die weniger erfolgreichen lokalen Strömungen. Die Struktur der Strömungszellen bildet sich vom Rand der Schale aus. Nach einiger Zeit haben sich die Konvektionszellen in der ganzen Schale ausgebreitet und bilden regelmäßige geometrische, horizontal und vertikal geordnete Muster: Die Bénard-Zellen.

Abhängig von der Form der Schale können sich horizontale Walzen in unterschiedlichen Lagen, sechseckige Säulen oder auch runde oder unregelmäßig geformte Konvektionszellen ausbilden. Die Zellen sind relativ stabil. Runde Schalen lassen bevorzugt runde Zellen entstehen. Unterschiedliche Zellen konkurrieren miteinander. Die innere Reibung der Flüssigkeit begrenzt die Geschwindigkeit der Bewegung der Flüssigkeit in den Zellen.

Wenn die vertikale Temperaturdifferenz einen weiteren kritischen Wert überschreitet, werden die Zellen tendenziell kleiner und komplexer. Dies ist ein typisches Verhalten bei nichtlinearen Prozessen, dass Bifurkation genannt wird (siehe unten). Bei einer noch größeren Temperaturdifferenz in der Schale kippt die geordnete Konvektion und wird komplett chaotisch, also völlig ungeordnet. Es gibt dann keine abgrenzbaren Konvektionszellen mehr.

Die Wärmeleitung und die verschiedenen Arten der Bénard-Zellen entsprechen unterschiedlichen Phasen in der Flüssigkeit im Hinblick auf den Wärmetransport. Die Übergänge von der Wärmeleitung zur Konvektion mit größeren und später kleineren Zellen bis hin zur ungeordneten Konvektion sind dabei die Phasenübergänge. Durch die Ausbildung der Bénard-Zellen entsteht unter Verbrauch von Wärmeenergie Ordnung und Struktur. Warum wird die Wärmeleitung stufenweise verbessert, und nicht sofort die chaotische Strömung „eingeschaltet“? Der Grund ist das Hamiltonsche Prinzip der Physik, auch Prinzip des geringsten Aufwandes genannt: Die unbelebte Natur und die Lebewesen wählen, abhängig von der Situation, immer bzw. bevorzugt die Lösung, die dem geringsten Energieverbrauch bzw. Arbeitsaufwand entspricht.

Hier noch ein Link zur Demonstrationen von Bénard-Zellen im Labor: https://www.youtube.com/watch?v=n75sfdFZnWA 

Mehrere Stufen von Ordnung mit mehreren Phasenübergängen dazwischen sind typisch für nichtlineare Prozesse. Da sowohl die physikalischen Gleichungen für die Wärmeleitung als auch die für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen nichtlinear sind, ergibt sich daraus unmittelbar der nichtlineare Charakter der Bénard-Prozesse. Jede neue Ordnung im Prozess ist in mindestens zwei strukturellen Alternativen möglich; diese Alternativen führen zur Bifurkation.

Bifurkation, oder: Wenn’s kritisch wird, gibt’s Alternativen

Anhand der Bénard-Konvektion kann man die Begriffe kritischer Zustand, Phasenübergang(siehe oben) und Bifurkation von emergenten Prozessen relativ anschaulich erläutern. Wir haben gesehen, dass in einer Flüssigkeits- oder Gasschicht bei einer kritischen vertikalen Temperaturdifferenz ein kritischer Zustand entsteht, der einen Übergang in eine neue Phase einleitet, die gekennzeichnet ist durch eine Struktur der Flüssigkeit aus Konvektionszellen. Bei einer weiteren Vergrößerung der Temperaturdifferenz kann sich die Größe der Zellen halbieren usw. Diesen Vorgang nennt man Bifurkation. Die Phasenübergänge kann man mit einem Bifurkations-Diagramm des Systems in Abhängigkeit von der zu transportierenden Wärmemenge schematisch darstellen; vgl. Bild 3.

Bild 3: Bénard-Konvektion – Phasenübergänge mit Bifurkation. Die kleinen roten Pfeile kennzeichnen die Entwicklung des Systems und seiner Struktur und die Alternativen beim ersten Phasenübergang.

Links erkennen Sie als waagerechte kräftige Linie den Bereich der Wärmeleitung, die anfangs für den Wärmetransport sorgt. An der ersten gestrichelten Linie reicht die Wärmeleitung allein nicht mehr aus und der Wärmetransport-Prozess kommt in einen kritischen, instabilen Zustand, der zu einem Phasenübergang von der gleichförmigen Wärmeleitung zum Wärmetransport durch Konvektionszellen führt. In der Schale können sich, abhängig von ihrer Größe und Form, horizontale Walzen in unterschiedlichen Lagen, sechseckige Säulen oder auch runde oder unregelmäßig geformte Konvektionszellen ausbilden. Die Form der Zellen ist – sobald etabliert – relativ stabil. Sie ist u.a. abhängig von der Form der Schale, weil ihr Rand bei der spontanen Bildung der Zellen einen Einfluss hat. Kleine runde Schalen lassen bevorzugt rundliche Zellen entstehen.

Für die Bildung der Konvektionszellen gibt es bei diesem Phasenübergang zwei Alternativen: Im Inneren der Zelle kann die Strömung „aufwärts“ oder „abwärts“ gerichtet sein. Dies wird im Diagramm durch die Zweiteilung (Bifurkation) der kräftigen waagerechten Linie rechts vom Phasenübergang dargestellt. Die Strömungsrichtung ergibt sich theoretisch per Zufall aufgrund lokaler Schwankungen (Fluktuationen) in der Bewegung der Flüssigkeit. Eine der beiden Strömungsrichtungen wird realisiert und bleibt dann stabil bestehen. Der Phasenübergang besteht im Übergang vom homogenen Zustand der Flüssigkeit beim Wärmetransport zum inhomogenen Zustand mit größeren Konvektionszellen, oder von größeren zu kleineren Zellen, oder hin zum chaotischen Verhalten (Breich im Diagramm nicht dargestellt).

Weitere Beispiele für die Wirkung der Bénard-Konvektion

Am Himmel kann man, wenn die Atmosphäre ruhig ist, manchmal streifenförmige Kumulus-Wolken beobachten (siehe Bild 1), die die Folge von walzenförmigen Bénard-Zellen in einer hohen, flachen Luftschicht an der Grenze zur Wolkenbildung sind. Nämlich dort, wo das in der Luft enthaltene Wasser kondensiert und dabei seine gespeicherte (sog. latente) Wärme freigibt. Bei der Bildung der Wolkenstraßen ist deshalb noch ein zweiter emergenter Prozess beteiligt: Das in der Luft enthaltenen gasförmige Wasser kondensiert spontan und selbstorganisiert zu kleinen Wassertropfen, die die Wolken bilden.

Die freigegebene Wärme erzeugt den Temperaturgradienten und die Konvektion. Weil es dort oben keine äußeren Begrenzungen gibt, bildet sich ein Muster von ausgedehnten walzenförmigen Zellen, die sich abwechselnd in die eine oder andere Richtung drehen, um die Wärme (nach oben) zu transportieren. Form und Größe der Zellen hängt von den Verhältnissen in der Luftschicht ab und wird autonom von den Bénard-Prozessen gebildet.  Da es in diesem Fall keine klaren äußeren Grenzen der Luftschicht gibt, ist keine Strömungsrichtung ausgezeichnet. Lage und Drehrichtung einer ersten Walze ergibt sich per Zufall aus Temperaturunterschieden oder Fluktuationen in der Luftschicht. Andere benachbarte Walzen werden anschließend selbstorganisiert einbezogen, und bei günstigen Verhältnissen entstehen so schöne Wolkenfelder wie im Bild 1.

Auch im Inneren der Erde wird Wärme transportiert, nämlich vom inneren Erdkern zur Erdkruste. Da der äußere Erdkern aus einer Schmelze von flüssigem Eisen und Nickel besteht, gibt es dort Konvektionsströme durch Selbstorganisation à la Bénard. Da die Erde eine Kugel ist, sind auch die Konvektionsströme kugelsymmetrisch angeordnet. Sie sind wegen der internen Rückkopplungen geordneter und stabiler (langsamer veränderlich) als im Fall chaotischer Strömungen, denn im inneren Erdkern wird kaum Wärme erzeugt.  Wegen der Rotation der Erde sind die Konvektionsströme schraubenförmig verdrillt (als Folge der sog. Corioliskraft).

Diese Konvektionsströme erzeugen 95% des Magnetfelds der Erde. Wie das Magnetfeld entsteht, ist nicht so ganz einfach zu verstehen und kann bis heute nur durch die Simulation entsprechender Modelle mit einem Computer nachvollzogen werden. Das Prinzip ist wie folgt: Da die Eisen-Nickel-Schmelze des äußeren Erdkerns elektrisch leitfähig ist, können dort elektrische Ströme fließen. (Ferromagnetisch ist die Schmelze nicht, dazu ist die Temperatur zu hoch.) Ein Strom erzeugt ein Magnetfeld und das Magnetfeld aufgrund der sog. Selbstinduktion wieder einen Strom. Sobald also ein erstes kleines Magnetfeld da ist, entsteht aufgrund der beschriebenen Rückkopplung von Strom und Magnetfeld mehr Strom und dadurch mehr Magnetfeld. Kleine Magnetfelder gibt es aber überall im Weltraum, z.B. hat die Sonne ein Magnetfeld, das bis zur Erde reicht.

Dieses Modell der Selbstorganisation des Erdmagnetfelds wird für zutreffend gehalten, weil seine Simulation die Eigenschaften des Erdmagnetfelds richtig wiedergeben kann: Die Größe, die Form, die Wanderungen der magnetischen Pole im Laufe der Zeit, und selbst die Umpolung des Erdmagnetfelds in Zeiträumen von im Mittel etwa 250 000 Jahren. Auch das Erdmagnetfeld entsteht durch emergente Selbstorganisation.

Ähnliche Verhältnisse wie im Magma des Erdinneren dürften im Plasma in der Sonne herrschen, denn auch die Sonne hat ein Magnetfeld. Da ihre Energieproduktion im Kern aber wegen der Fusion von Wasserstoff zu Helium sehr groß ist, und die Wärmeströme deshalb sehr stark, ist die Turbulenz der Konvektion sehr viel größer und chaotischer als im Fall des Erdinneren, und das Magnetfeld der Sonne ändert sich viel häufiger und stärker als das der Erde.

Weiteres Wissen zur emergenten Selbstorganisation in Natur und Gesellschaft finden Sie bei Interesse in meinen Büchern Die Kraft der Naturgesetze und Gesellschaft ohne Ideologie – eine Utopie?

 

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